Question

如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）探索：在（2）的条件下：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=kx-1与y轴相交于点C，
∴OC=1；
∵tan∠OCB=，
∴OB=；
∴B点坐标为：；
把B点坐标为：代入y=kx-1得：k=2；

（2）∵S=，y=kx-1，
∴S=×（2x-1）；
∴S=x-；

（3）①当S=时，x-=，
∴x=1，y=2x-1=1；
∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；
②存在．
满足条件的所有P点坐标为：
P₁（1，0），P₂（2，0），P₃（，0），P₄（，0）．
（注：每题只给出一种解法，如有不同解法请参照评分意见给分）
分析：本题考查一次函数的综合应用，在（1）中需根据OC=1求出B点坐标，再利用待定系数法求出k值；（2）中利用把△AOB的面积表示出来，在根据x与y之间的关系代入整理；（3）代入求值即可，同时在查找等腰三角形的满足P点的坐标时要根据等腰三角形的性质查找．
点评：本题是函数与三角形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．