Question

15．如图，锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，已知二次函数y═x²cosA-x+$\frac{1}{cosA}$的图象顶点与点（-2cosA，3cosA）关于y轴对称．延长AB到P，使AP=2AC，若以C为圆心，AC为半径的圆与以B为圆心、BP为半径的圆相外切．
（1）求∠A；
（2）设BP=r，求a：b：c；
（3）若关于t的方程3t²-3ct+（a+b）=0的两个根α、β满足α（α+1）+β（β+1）=（α+1）•（β+1），求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质求出抛物线的顶点坐标，根据二次函数的性质求出cosA，根据特殊角的三角函数值解答；
（2）作CE⊥AB于E，用b表示出AE、CE，根据相切两圆的性质、勾股定理列出方程，解方程得到b=$\frac{5}{2}$r，计算即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程求出r，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵二次函数y═x²cosA-x+$\frac{1}{cosA}$的图象顶点与点（-2cosA，3cosA）关于y轴对称，
∴抛物线的顶点坐标为（2cosA，3cosA），
∴-$\frac{-1}{2cosA}$=2cosA，
∴cos²A=$\frac{1}{4}$，
∵∠A为锐角，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=60°；
（2）作CE⊥AB于E，
∵∠A=60°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$b，CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∵AP=2AC，
∴BE=2b-$\frac{1}{2}$b-r=$\frac{3}{2}$b-r，
∵以C为圆心，AC为半径的圆与以B为圆心、BP为半径的圆相外切，
∴BC=b+r，
由勾股定理得，（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²+（$\frac{3}{2}$b-r）²=（b+r）²，
解得，b=$\frac{5}{2}$r，
∴a=$\frac{5}{2}$r+r=$\frac{7}{2}$r，c=2b-r=4r，
∴a：b：c=7：5：8；
（3）由（2）得，b=$\frac{5}{2}$r，a=$\frac{7}{2}$r，c=4r，
∴方程变形为3t²-12rt+6r=0，即t²-4rt+2r=0，
∴α+β=4r，αβ=2r，
∵α（α+1）+β（β+1）=（α+1）•（β+1），
∴α²+α+β²+β=αβ+α+β+1，
整理得，（α+β）²=3αβ+1，
则（4r）²=6r+1，
整理得，16r²-6r-1=0，
解得，r₁=$\frac{1}{2}$，r₂=-$\frac{1}{8}$（舍去），
当r=$\frac{1}{2}$时，c=2，CE=CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{5\sqrt{3}}{8}$=$\frac{5\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查的是两圆的位置关系、二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数的顶点坐标的求法、相切两圆的性质是解题的关键．