Question

9．已知：AD为△ABC的中线，AE=AB，AF=AC，连接EF，EF=2AD
（1）如图1，求证：∠EAF+∠BAC=180°；
（2）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点N，若∠ABC=60°时，点G为EF中点，延长EB、FC交于点M．请探究BM、BC之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）延长AD至H，使HD=AD，连接CH，证得△ADB≌△HDC和△AHC≌△FEA，最后得出∠ACH+∠CHD+∠CAD=180°，进一步得出结论即可；
（2）由（1）△AHC≌△FEA，证得△AEG≌△BAD，得出△ABE是等边三角形，进一步证得△ACD≌△FAG利用在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF=360°，得出∠BCF=150°，证得∠BCM=30°，∠BMC=90°，求得结论BC=2BM．

解答 （1）证明：如图，

延长AD至H，使HD=AD，连接CH，
∵BD=CD，AD=HD，∠ADB=∠HDC
∴△ADB≌△HDC，
∴∠BAD=∠CHD，AB=HC，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠CHD+∠CAD，
∵EF=2AD，HA=2AD，
∴EF=HA，
∵AE=AB，AB=HC，
∴HC=AE，
又AC=AF
∴△AHC≌△FEA，
∴∠EAF=∠ACH
∵∠ACH+∠CHD+∠CAD=180°
∴∠EAF+∠BAC=180°．
（2）BC=2BM．
证明：由（1）得∠AEG=∠BAD，
由（1）得，AD=$\frac{1}{2}$EF，又点G为EF中点，
∴EG=AD，
在△EAG和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠AEG=∠BAD}\\{EG=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△ABD，
∴∠EAG=∠ABC=60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠CBM=60°，
在△ACD和△FAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=FG}\\{AG=CD}\\{AF=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△FAG，
∴∠ACD=∠FAG，∠DAC=∠F，∠ADC=∠FGA，
∵AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC，
在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF=360°，
则∠BCF=150°，
∴∠BCM=30°，
∴∠BMC=90°，
则BC=2BM．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握它们的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质是解题的关键．