Question

已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AD∥BC，AC=4，BO=，AB=5，BC=3．
（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；
（2）求四边形ABCD的边AB上的高．

Answer 1

解：（1）四边形ABCD为平行四边形．
∵AC=4，BC=3，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²∴∠ACB=90°
在Rt△OBC中，OB=，BC=3，
∴．
∵AC=4，
∴OA=2，
∴OA=OC．
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO．
又∵∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB．
∴BC=AD．
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．

（2）设AB边上的高为h，
∵S_{平行四边形ABCD}=BC•AC=AB•h，
∴3×4=5h，
∴h=2.4．即AB边上的高为2.4．
分析：（1）由AC=4，BC=3，AB=5，根据勾股定理的逆定理，可得∠ACB=90°，再根据勾股定理可求得OC=2，∵AC=4，∴OA=2，∴OA=OC，进一步证明△AOD≌△COB．∴BC=AD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形．
（2）由（1）可得△ACB是直角三角形，由AC=4，BC=3，可求得平行四边形ABCD的面积为12，则AB上的高为12÷5=2.4．
点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．还要灵活掌握平行四边形的面积的计算方法．