Question

将5×9的长方形分成边长为整数的长方形，无论怎样分法，分得的长方形中必有两个是完全相同的，请你说明理由．

Answer 1

解：边长为整数的长方形，它们的面积由小到大排列的序列是
1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，1×6，2×3，1×7，1×8，2×4，1×9，3×3，2×5，
假设5×9的长方形能分成10个两两不同的长方形，它们的面积的和等于45．
上列序列中，前十个的长方形两两不同，它们的面积和是
1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5+1×6+2×3+1×7+1×8=46＞45，这就产生了矛盾．
这说明要将5×9的长方形分成边长为整数的长方形，其中至少要有两个是完全相同的．
分析：将5×9的长方形分成边长为整数的长方形，尽可能分成所有不同的长方形，并且面积尽可能的小，把最接近长方形面积的几个相加，只有面积等于5×9=45，才符合要求，从而得出矛盾，及原命题正确．
点评：此题主要考查了抽屉原理的应用，以及反证法的证明，对于数据较小的问题，可以利用列举法得出所有可能，分析得出原命题的正确性．