Question

如图，直线y=x-4分别交x、y轴于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求B点的坐标；
（2）若D是OA中点，过A的直线l（3）把△AOB分成面积相等的两部分，并交y轴于点C．
①求过A、C、D三点的抛物线的函数解析式；
②把①中的抛物线向上平移，设平移后的抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，试问过M、N、B三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，求出圆的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直线y=x-4分别交y轴于B点，令x=0，即可求得B点的坐标；
（2）①由D是OA中点，过A的直线l（3）把△AOB分成面积相等的两部分，并交y轴于点C，即可求得点A，C，D的坐标，然后设过A、C、D三点的抛物线的函数解析式为：y=ax²+bx+c，利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式；
②由抛物线的解析式可化为y=-（x-5）²+，其对称轴是x=5．由于过M、N的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，即点B到圆心的距离要最短，过B作BE垂直抛物线的对称轴，垂足为E，则符合条件的圆是以E为圆心，EB长为半径的圆，求得圆的面积．
解答：解：（1）∵当x=0时，y=-4，
∴B点的坐标为（0，-4）；

（2）①∵过A的直线l（3）把△AOB分成面积相等的两部分，
∴C（0，-2），
又∵A（，0），D是OA中点，
∴D（，0），
设过A、C、D三点的抛物线的函数解析式为：y=ax²+bx+c，
∴，
解得：，
∴过A、C、D三点的抛物线的函数解析式为y=-x²+x-2；
②存在．
理由如下：抛物线的解析式可化为y=-（x-5）²+，其对称轴是x=5．
由于过M、N的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，
即点B到圆心的距离要最短，过B作BE垂直抛物线的对称轴，垂足为E，
则符合条件的圆是以E为圆心，EB长为半径的圆，
其面积为25π．
点评：此题考查了函数与点的关系，待定系数法求二次函数的解析式，以及圆的面积的最小问题．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．