Question

如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（3，4），C（6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向左运动，过点P作RP⊥y轴，交OB于R，连接RQ．当点P与点O重合时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）若t=1，求点R的坐标；
（2）在线段OB上是否存在点R，使△ORQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当t=1时，RP⊥y轴，可利用解直角三角形求出R的纵横坐标．
（2）△ORQ与△ABC相似，由于运动时间t的不同，三角形存在不同的相似，所以应分情况讨论．
即①点Q从点C运动到点O（不与O重合）时，因为角不相等，所以此种情况不成立．
②当t=3时，点Q与O重合时，△ORQ变成线段OR，故不可能与△ABC相似．
③如图，当3＜t≤4时，即点Q从原点O向左运动时，可得到两个数值，但两个数值均满足题意，所以都成立．

解答：解：（1）∵A（0，4），B（3，4），
∴AB⊥y轴，AB=3．
∵RP⊥y轴，
∴∠OPR=∠OAB=90°．
又∠POR=∠AOB，
∴△OPR∽△OAB，
∴

OP

OA

=

PR

AB

．
当t=1时，AP=1，OP=3，
∴

3

4

=

PR

3

，
∴PR=

9

4

．
∵R的纵坐标等于OP的长，
∴点R的坐标为（

9

4

，3）．

（2）如图，过点B作BD⊥x轴于点D，则D（3，0）
在△BOC中，
∵OD=DC=3，且BD⊥OC，
∴OB=BC．
∵△OPR∽△OAB，
∴

OR

OB

=

OP

OA

，
∵在Rt△OBD中，OB=

OD2+BD2

=5
∴

OR

5

=

4-t

4

，
∴OR=

20-5t

4

．
由题意得，AP=t，CQ=2t（0≤t≤4）．
分三种情况讨论：
①当0≤t＜3时，即点Q从点C运动到点O（不与O重合）时，
∵OB=BC
∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA
∵AB∥x轴，
∴∠BOC=∠ABO，∠BAC=∠ACO，
∵∠ABO＜ABC，∠BCO＞∠ACO，
∴∠BOC＜ABC，∠BOC＞∠BAC，
∴当0≤t＜3时，△ORQ与△ABC不可能相似．
②当t=3时，点Q与O重合时，△ORQ变成线段OR，故不可能与△ABC相似．
③如图，当3＜t≤4时，即点Q从原点O向左运动时，
∵BD∥y轴
∴∠AOB=∠OBD
∵OB=BC，BD⊥OC
∴∠OBD=∠DBC
∴∠QOR=90°+∠AOB=90°+∠DBC=∠ABC                         
当

OQ

OR

=

AB

BC

时，
∵OQ=2t-6，
∴

2t-6

20-5t 4

=

3

5

，
∴t=

36

11

．
当

OQ

OR

=

BC

AB

时，
同理可求得t=

172

49

．
经检验t=

36

11

和t=

172

49

均在3＜t≤4内，
∴所有满足要求的t的值为

36

11

和

172

49

．

点评：熟练掌握相似三角形的性质及其应用，会对问题进行综合分析并分情况讨论．