Question

等边△ABO在直角坐标系中的位置如图所示，BO边在x轴上，点B的坐标为（-2，0）点，反比例函数y=

k

x

（x＜0）经过点A．
（1）求这个反比例函数的解析式；

（2）如图，直线y=kx+2

3

与x轴，y轴交于C，D两点，与（1）中的反比例函数的图象交于E，F两点，EG⊥x轴于G点，FH⊥y轴于H点，若△DFH的面积记为S_△DFH，已知S_△DFH+S_△FOE+S_△ECG=

7

8

S_△COD，求k的值；


（3）如图，点D为（1）中的等边△ABO外任意一点，且∠ADO=30°，连接AD，OD，BD，则AD²，OD²，BD²之间存在一个数量关系，写出你的结论并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质和B点坐标求出A点坐标，然后用待定系数法求出解析式．
（2）根据面积关系和（1）的关系式可用带有k的式子表示出，又因为OD=2

3

，从而可确定出函数解析式．
（3）AD²，OD²，BD²之间存在的数量关系是BD²=OD²+AD²，以OD为边构造等边三角形ODP，连接AP，则△ADP为直角三角形；则AP²=DP²+AD²，可证△BOD≌△AOP（SAS），得BD=AP，从而可得BD²=DP²+AD²=OD²+AD²．

解答：解：（1）则AB=BO=AO=2，过A作AM⊥BO于点M，
则OM=

1

2

BO=1，AM=

AO2-OM2

=

3

则点A的坐标为（-1，

3

）
则这个反比例函数的解析式为y=-

3

x

；

（2）∵S_△DFH+S_△FOE+S_△ECG=

7

8

S_△COD，
∴S_△EGO+S_△FOH=

1

8

S_△COD
又∵S_△EGO=S_△FOH=

1

2

|k|=

3

2

，
则S_△COD=8

3

，因为OD=2

3

，
∴OC=8，则C（-8，0），
∵直线y=kx+2

3

过C（-8，0），则k=

3

4

；

（3）AD²，OD²，BD²之间存在的数量关系是BD²=OD²+AD²，
以OD为边构造等边三角形ODP，连接AP，则△ADP为直角三角形；
则AP²=DP²+AD²
∵OB=OA，
∠BOD=∠AOP=60°+∠AOD，
OD=OP，
∴△BOD≌△AOP（SAS），
∴BD=AP
∴BD²=DP²+AD²=OD²+AD²．

点评：本题考查的知识点比较多，属于难度比较大的题目，做的时候注意题目所给的条件，也要数形结合来做题．