Question

（2012•福州质检）如图1，已知抛物线y=

4

3

x²+bx+c经过A（3，0）、B（0，4）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C'的坐标；
（3）若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H（如图2），问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PH-PA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法将A（3，0）、B（0，4）两点代入求出即可；
（2）首先求出C点坐标，再利用△CTC'∽△BOA，得出

C′T

OA

=

CC′

AB

=

CT

OB

，进而得出C'T=

48

25

，CT=

64

25

的值求出C′点的坐标；
（3）首先求出圆的半径，再利用抛物线的对称性，得PA=PC，根据|PH-PA|=|PH-PC|≤HC，得出当H、C、P三点共线时，|PH-PC|最大，求出即可．

解答：解：（1）由题意得：

4 3 ×9+3b+c=0 c=4

，
解得：

b=- 16 3 c=4

．
∴抛物线解析式为y=

4

3

x²-

16

3

x+4；

（2）令y=0，得

4

3

x²-

16

3

x+4=0．
解得：x₁=1，x₂=3．
∴C点坐标为（1，0）．
作CQ⊥AB，垂足为Q，延长CQ，使CQ=C'Q，则点C′，
就是点C关于直线AB的对称点．
由△ABC的面积得：

1

2

CQ•AB=

1

2

CA•BO，
∵AB=

AO2+BO2

=5，CA=2，
∴CQ=

8

5

，CC'=

16

5

．
作C'T⊥x轴，垂足为T，
∵∠C′CT+∠BAO=90°，∠C′CA+∠CC′T=90°，
∴∠BAO=∠CC′T，
∵∠BOA=∠CTC′，
∴△CTC'∽△BOA．
∴

C′T

OA

=

CC′

AB

=

CT

OB

，
∴C'T=

48

25

，CT=

64

25

∴OT=1+

64

25

=

89

25

，
∴C'点的坐标为（

89

25

，

48

25

）；

（3）设⊙D的半径为r，
则AE=r+3，BF=4-r，HB=BF=4-r．
∵AB=5，且AE=AH，
∴r+3=5+4-r，
∴r=3．    
HB=4-3=1．
作HN⊥y轴，垂足为N，
则

HN

OA

=

HB

AB

，

BN

OB

=

HB

AB

，
∴HN=

3

5

，BN=

4

5

，
∴H点坐标为（-

3

5

，

24

5

）．
根据抛物线的对称性，得PA=PC，
∵|PH-PA|=|PH-PC|≤HC，
∴当H、C、P三点共线时，|PH-PC|最大．
∵HC=

(1+ 3  5  )2+( 24 5 )2

=

8

5

10

，
∴|PH-PA|的最大值为

8

5

10

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质等知识，根据数形结合得出当H、C、P三点共线时，|PH-PC|是此题难点．