Question

如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是________形．

Answer 1

菱
分析：连接AC和BD．根据△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，利用三角形中位线定理求证MN∥PQ，MN=PQ，MQ∥PN，MQ=PN，从而得出四边形MNPQ是平行四边形．再（SAS）求证△AEC≌△DEB，得出AC=BD，然后求证MN=MQ，即可得出结论
解答：证明：连接AC和BD．
∵△ADE和△BCE都是等边三角形，
点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴MN∥AC，且，PQ∥AC，且PQ=AC，
∴MN∥PQ，MN=PQ
同理MQ∥BD，且MQ=BD，PN∥BD，且PN=BD，
∴MQ∥PN，MQ=PN
∴四边形PQMN是平行四边形．
∵△ADE和△BCE都是等边三角形，
∴AE=AD=DE，EC=EB=BC，∠DEA=∠CEB=60°，
∴∠AEC=∠DEB=60°+∠DEC=120°，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=BD，
∵MN=AC，MQ=BD，
∴MN=MQ，
∴四边形PQMN是菱形．
点评：此题主要考查学生对三角形中位线定理和等边三角形的性质这些知识点的理解和掌握，此题的关键是连接AC和BD．再利用三角形中位线定理求证四边形PQMN是平行四边形．再利用△AEC≌△DEB求证出MN=MQ，即可证明四边形PQMN是菱形．