Question

已知反比例函数y=

12

x

的图象和一次函数y=kx-7的图象都经过P（m，2）．有A、B两点在这个一次函数的图象上，过A、B向x轴作垂线，与这个反比例函数的图象分别交于C、D两点，连接C、D，若CD=AB，且A和B的横坐标分别为2和2+a．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求a的值；
（3）求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析：（1）将P坐标代入反比例解析式中，求出m的值，确定出P的坐标，将P坐标代入一次函数解析式中求出k的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由题意及（1）中确定出的一次函数解析式，表示出A、B、C、D的坐标，由AB=CD，得到CD²=AB²，利用两点间的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（3）由求出a的值，得到A、B、C、D的坐标，即可求出四边形ABCD的周长．

解答：解：（1）∵P（m，2）在反比例函数y=

12

x

的图象上，
∴将x=m，y=2代入反比例解析式得：2=

12

m

，即m=6，
∴P（6，2），
∵P（6，2）在y=kx-7上，
∴将x=6，y=2代入得：2=6k-7，即k=

3

2

，
∴一次函数解析式为y=

3

2

x-7；

（2）由条件知A（2，-4），B（2+a，-4+

3

2

a），C（2，6），D（2+a，

12

2+a

），
∵CD=AB，∴CD²=AB²，
∴a²+（

12

a+2

-6）²=a²+

9

4

a²，即

12

a+2

-6=

3

2

a，即

12

a+2

-6=-

3

2

a，
解得：a=0（舍去）或a=-6；a=0（舍去）或a=2，
经检验a=-6与a=2是原方程的解，
则a的值为-6或2；

（3）当a=2时，A（2，-4），B（4，-1），C（2，6），D（4，3），四边形ABCD的周长为14+2

13

；
当a=-6时，A（2，-4），B（-4，-13），C（2，6），D（-4，-3），四边形ABCD的周长为20+2

117

．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，坐标与图形性质，以及勾股定理的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．