Question

如图，二次函数y=x²-x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．
（1）若A（-4，0），求二次函数的关系式；
（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积；
（3）是否存在抛物线y=x²-x+c，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（-4，0）在二次函数y=x²-x+c的图象上，
∴×（-4）²-（-4）+c=0，
解得c=-12，
∴二次函数的关系式为y=x²-x-12；

（2）∵y=x²-x-12，
=（x²-2x+1）--12，
=（x-1）²-，
∴顶点M的坐标为（1，-），
∵A（-4，0），对称轴为x=1，
∴点B的坐标为（6，0），
∴AB=6-（-4）=6+4=10，
∴S_△ABM=×10×=，
∵顶点M关于x轴的对称点是M′，
∴S_{四边形AMBM′}=2S_△ABM=2×=125；

（3）存在抛物线y=x²-x-，使得四边形AMBM′为正方形．
理由如下：令y=0，则x²-x+c=0，设点AB的坐标分别为A（x₁，0）B（x₂，0），
则x₁+x₂=-=2，x₁•x₂==2c，
所以，AB==，
点M的纵坐标为：==，
∵顶点M关于x轴的对称点是M′，四边形AMBM′为正方形，
∴=2×，
整理得，4c²+4c-3=0，
解得c₁=，c₂=-，
又抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b²-4ac=（-1）²-4×c＞0，
解得c＜，
∴c的值为-，
故，存在抛物线y=x²-x-，使得四边形AMBM′为正方形．
分析：（1）把点A的坐标代入二次函数解析式，计算求出c的值，即可得解；
（2）把二次函数解析式整理成顶点式解析式，根据二次函数的对称性求出点B的坐标，从而求出AB的长，再根据顶点坐标求出点M到x轴的距离，然后求出△ABM的面积，根据对称性可得S_{四边形AMBM′}=2S_△ABM，计算即可得解；
（3）令y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出AB的长度，根据抛物线解析式求出顶点M的纵坐标，然后根据正方形的对角线互相垂直平分且相等列式求解，如果关于c的方程有解，则存在，否则不存在．
点评：本题综合考查了二次函数的问题，主要利用了待定系数法求函二次数解析式，二次函数的顶点坐标的求解，二次函数的对称性，以及正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质，综合题，但难度不是很大，（3）中要注意根据抛物线与x轴有两个交点，利用根的判别式求出c的取值范围，否则容易多解而导致出错．