Question

12．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，
（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是255；
（2）若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）^m（p+1）ⁿ-1（m，n为正整数），则m+n的值为21．

Answer 1

分析 （1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c=7；第二次c=31；第三次c=255；
（2）p＞q＞0 第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1；第二次得：c₂=（p+1）²（q+1）-1；所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）⁸（p+1）¹³-1，故可得结论．

解答 解：（1）a=1，b=3，按规则操作三次，
第一次：c=ab+a+b=1×3+1+3=7；
第二次，7＞3＞1所以有：c=3×7+3+7=31；
第三次：31＞7＞3所以有：c=7×31+7+31=255；
（2）p＞q＞0 第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1；
因为c＞p＞q，所以第二次得：c₂=（c₁+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）²（q+1）-1；
所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c₃=（c₂+1）（c₁+1）-1=（p+1）³（q+1）²-1
第四次可得：c₄=（c₃+1）（c₂-1）-1=（p+1）⁵（q+1）³-1；
第五次可得：c₅=（p+1）⁸（q+1）⁵-1；
故经过6次扩充，所得数为：（q+1）⁸（p+1）¹³-1
∴m=8，n=13，
∴m+n=21．
故答案为：255；21．

点评 本题考查了推理与论证以及新定义运算，考查学生分析解决问题的能力，求出经过6次操作后扩充所得的数是关键．