Question

已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²－(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根,第三边BC的长为5.

(1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?

(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长.

Answer 1

解：(1)∵x²－(2k+1)x+k(k+1)=0,

∴(x－k)·［x－(k+1)］=0,

∴x₁=k,x₂=k+1.

由勾股定理，得k²+(k+1)²=5²,解得k₁=3,k₂=－4(舍去).

∴当k=3时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

(2)当△ABC是等腰三角形时,有三种情况:

①AB=AC,而在一元二次方程中,由于b²－4ac=［－(2k+1)］²－4k(k+1)=1,即AB≠AC.因此此种情况不存在;

②AB=BC或AC=BC.此时x=5是已知方程的一个根，所以5²－5(2k+1)+k(k+1)=0,解得k₁=4,k₂=5.

当k₁=4时,方程的两个根为x₁=k=4,x₂=k+1=5,此时等腰三角形的三边长为4,5,5,可以构成三角形,

∴此时等腰三角形的周长为4+5+5=14;

当k=5时,方程的两个根为x₁=k=5,x₂=k+1=6,此时等腰三角形的三边长为5,5,6,可以构成三角形,

∴此时等腰三角形的周长为6+5+5=16.