Question

已知：如图，AD是△ABC的高，AB=AC，BE=2AE，点N是CE的中点．
求证：M是AD的中点．

Answer 1

证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD．（1分）
∵CN=EN，
∴DN∥BE，DN=BE．（2分）
∵BE=2AE，
∴DN=AE．（1分）
∵AE∥DN，
∴∠MAE=∠MDN，∠MEA=∠MND．（1分）
∴△AEM≌△DNM．（2分）
∴AM=DM，
即M是AD的中点．（1分）
分析：由等腰△ABC的“三线合一”的性质知BD=CD；然后根据三角形中位线的判定定理判定DN是△BCE的中位线，由中位线的定理知DN=BE；接下来通过证明△AEM≌△DNM，所以全等三角形的对应边AM=DN，即M是AD的中点．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．等腰三角形的底边上的中线、高线、顶角的角平分线三线合一．