Question

7．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l₁、l₂、l₃、l₄上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h₁、h₂、h₃．若h₁=2，h₂=1，则正方形ABCD的面积为（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 13
• D． 25

Answer 1

分析 正方形ABCD的面积为边长的平方，所以只要能求边长的平方即可；作辅助线构建全等三角形，证明△ABN≌△CDG（AAS），则AN=CG，BE=CH=h₂+h₃，即h₁=h₃=2，BE=2+1=3，利用勾股定理求出AB的平方，可得结论．

解答 解：过A点作AM⊥l₃分别交l₂、l₃于点N、M，过C点作CH⊥l₂分别交l₂、l₃于点H、G，
∵四边形ABCD是正方形，l₁∥l₂∥l₃∥l₄，
∴AB=CD，∠ABN+∠HBC=90°，
∵CH⊥l₂，
∴∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠BCH=∠ABN，
∵∠BCH=∠CDG，
∴∠ABN=∠CDG，
∵∠ANB=∠CGD=90°，
在△ABN和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABN=∠CDG}\\{∠ANB=∠CGD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CDG（AAS），
∴AN=CG，BE=CH=h₂+h₃，
即h₁=h₃=2，BE=2+1=3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²=AE²+BE²=2²+3²=13，
则正方形ABCD的面积=AB²=13；
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、正方形的面积，同时利用了同角的余角相等证明两角相等，为全等创造了条件，此方法在直角三角形经常运用，要熟练掌握．