Question

24、如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB=15，AD=7，BC=5，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）先根据角平分线的性质可证CE=CF，又已知BC=CD，故可根据HL判定Rt△BCE≌Rt△DCF．
（2）在（1）的基础上可证CE=CF，又AC=AC，根据HL证Rt△ACE≌Rt△ACF，即证AF=AE，得到AD+DF=AB-EB，即EB=DF，在Rt△BCE中，再根据勾股定理可求CE的值．

解答：解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F
∴CE=CF，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∵CE=CF，BC=CD，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF  （HL）．（3分）

（2）∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=EB，CE=CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，
∴AF=AE，（2分）
∵AB=15，AD=7，
∴AD+DF=AB-EB，
∴EB=DF=4，（2分）
在Rt△BCE中，根据勾股定理，CE=3．（1分）

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．