Question

（1997•南京）已知如图，在△ABC的外接圆中，D是弧BC的中点，AD交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．
（1）若以每两个相似三角形为一组，试问图中有几组相似三角形，并且逐一写出．
（2）求证：FD²=AD•ED．

Answer 1

分析：（1）连结BD、根据相似三角形的判定方法：有两对相等的角相等的三角形相似即可找到相似三角形的组数；
（2）易证∠DBE=∠BAF，再证明，∠BDE=∠ADB，进而证明△BDE∽△ADB，由相似三角形的性质可得：

BD

AD

=

ED

BD

即BD²=AD•ED，又因为BD=FD，所以FD²=AD•ED．

解答：（1）解：连结BD、CD，共有△ACF和△BDF，△ABE和△CDE，△ACD和△CED，△ADC△ABE，△ABD△BED，5组三角形相似；

（2）证明：∵弧BD=弧CD．
∴∠DBE=∠BAF；
又∵∠EBF=∠ABF．
∴∠EBF+∠DBE=∠ABF+∠BAF．
即∠DBF=∠DFB，得BD=FD．
∵∠DBE=∠DAB，∠BDE=∠ADB．
∴△BDE∽△ADB，
∴

BD

AD

=

ED

BD

，
∴BD²=AD•ED．
∴FD²=AD•ED．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及角平分线的定义和圆周角定理，题目难度中等．