Question

（2012•西宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知CD⊥AB，BC=1
（1）如果∠BCD=30°，求AC；
（2）如果tan∠BCD=

1

3

，求CD．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的两锐角互余，由∠BCD的度数求出∠B的度数，利用锐角三角函数定义表示出tanB，将tanB及BC的长代入，即可求出AC的长；
（2）在直角三角形BDC中，由已知tan∠BCD的值，利用锐角三角函数定义得出BD与CD的比值为1：3，根据比值设出BD=k，CD=3k，再由BC的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可求出CD的长．

解答：解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，
∵∠DCB=30°，∴∠B=60°，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴tan60°=

AC

BC

=

3

，又BC=1，
则AC=

3

；
（2）在Rt△BDC中，tan∠BCD=

BD

CD

=

1

3

，
设BD=k，则CD=3k，又BC=1，
利用勾股定理得：k²+（3k）²=1，
解得：k=

10

10

或k=-

10

10

（舍去），
则CD=3k=

3 10

10

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，比例的性质，以及特殊角的三角函数值，是一道多知识点的综合题．