Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上．若点A的坐标为（1，2），则点B坐标为（4，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（ x＞0）上，点A的坐标为（1，2），利用待定系数法可求得反比例函数与直线OA的解析式，又由OA⊥AB，可得直线AB的系数为-$\frac{1}{2}$，继而求得直线AB的解析式，将直线AB与反比例函数的解析式联立，即可求得点B的坐标．

解答 解：∵矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（ x＞0）上，点A的坐标为（1，2），
∴2=$\frac{k}{1}$，
解得：k=2，
∴双曲线的解析式为：y=$\frac{2}{x}$，直线OA的解析式为：y=2x，
∵OA⊥AB，
∴设直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+b，
∴2=-$\frac{1}{2}$×1+b，
解得：b=$\frac{5}{2}$，
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
将直线AB与反比例函数解析式联立得出：
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点B（4，$\frac{1}{2}$）．
故答案为（4，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，矩形的性质．此题难度适中，注意掌握互相垂直的两直线的系数之间的关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．