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    19．如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC为锐角，AC=10cm，AB=15cm，按下列步骤折叠：第一次，过点A折叠，使C点落在AB边上，折痕交BC边于D点；第二次折叠，使点A与点D重合，折痕分别交AB、AC边于点E、F，展开后，连结DE、DF．
    （1）试判断四边形AEDF的形状一定是什么？并求四边形AEDF的周长；
    （2）当AD=4EF时，在边AC上取点G，使点G绕点E旋转90°后落在折痕AD上，求$\frac{AG}{AF}$的值；
    （3）当∠BAC=30°时，一只蚂蚁N从C点出发沿纸片爬向终点A，它在AB边上爬行的速度是1cm/s，而在其它地方爬行的速度是0.6cm/s，问这只蚂蚁N从点C爬向终点A的最短时间是多少？

    分析 （1）首先根据翻折变换的性质，推得∠CAD=∠BAD，EF垂直平分AD；然后根据全等三角形判定的方法，推得△AFG≌△AEG，即可判断出FG=EG，所以AD和EF互相垂直平分，所以四边形AEDF是菱形；最后根据DF∥AB，求出DF的长度，进而求出四边形AEDF的周长是多少即可．
    （2）分点G在线段AF上和线段FC上两种情况，先作出GM⊥EF，判断出△ENG≌△EON，由AD=4EF得到OA=4MG，再用比例式即可．
    （3）先计算出在线段CA上爬行所用时间$\frac{50}{3}$s，再计算出再线段AB上爬行时间15s，由于BC＞15-10=5，所以，在线段CB上爬行的时间大于$\frac{25}{3}$，所以蚂蚁在线段CA上直接爬行到点A所以时间最短，即可．

    解答 解：（1）如图1，连接DE、DF，AD、EF相交于点G，
    ，
    ∵沿着AD折叠，C点落在AB边上，
    ∴∠CAD=∠BAD，
    ∵沿着EF折叠时，点A与点D重合，
    ∴EF垂直平分AD，
    在△AFG和△AEG中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠FAG=∠EAG}\\{AG=AG}\\{∠FGA=∠EGA}\end{array}\right.$
    ∴△AFG≌△AEG，
    ∴FG=EG，
    ∴AD和EF互相垂直平分，
    ∴四边形AEDF是菱形．
    设DF=AF=xcm，
    ∵DF∥AB，
    ∴$\frac{x}{15}=\frac{10-x}{10}$，
    解得x=6cm，
    ∴四边形AEDF的周长是：6×4=24（cm）．
    （2）①点G在线段AF上，作GM⊥EF，如图2，

    ∴∠GME=90°，
    ∴∠MGE+∠MEG=90°，
    由（1）四边形AEDF是菱形，
    ∴EF⊥AD，OE=OF，
    ∴∠EON=90°，
    ∴∠MEN+∠MEG=90°，
    ∴∠MGE=∠MEN，
    ∵EG=EN，
    ∴△ENG≌△EON，
    ∴MG=OE=OF，
    ∵AD=4EF，
    ∴OA=4OF=4MG，
    ∵GM∥OA，
    ∴$\frac{FG}{AF}=\frac{MG}{OA}$=$\frac{MG}{4MG}$=$\frac{1}{4}$，∴$\frac{AG}{AF}=\frac{3}{4}$．
    ②点G在线段FC上，作GM⊥EF，如图3，

    同①的方法有，OA=4MG，
    ∴$\frac{FG}{AF}=\frac{MG}{AO}=\frac{MG}{4MG}=\frac{1}{4}$，
    ∴$\frac{AG}{AF}=\frac{5}{4}$．
    （3）蚂蚁爬行的路径只有两种，第一种，在线段CA上，直接从点C爬行到点A，所用时间t=10÷0.6=$\frac{50}{3}$s，
    第二种爬行路径，从点出发，在线段CB上从点C爬行到点B，再从点B爬行到点A，从点B爬行到点A所用时间t′=15÷1=15s，
    在△ABC中，AB-AC＜BC，
    ∴BC＞5，
    ∴蚂蚁从点C爬行到点B是所用时间大于5÷0.6=$\frac{25}{3}$∴第二种爬行路径所用时间大于15+$\frac{25}{3}$=$\frac{70}{3}$s，
    ∵$\frac{70}{3}$＞$\frac{50}{3}$，
    ∴蚂蚁爬行的路径是第一种，在线段CA上，直接从点C爬行到点A，所用时间为$\frac{50}{3}$s．

    点评 此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定方法，相似三角形的性质，求出OA=4MG是解本题的关键，作辅助线是解本题的难点．

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    ②若P是BC的中点，连接FP，将等腰直角三角板ABC绕点B继续旋转，当旋转角α=210°时，FP长度最大，最大值为16+4$\sqrt{3}$（直接写出答案即可）．

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