Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=1，AB=AC，CD＜1，且∠BAC+∠BDC=180°，求CD的长．

Answer 1

解：作D关于BC的对称点E，连接AE、BE、CE，AE与BC交于点O
∵A到BC的距离等于E到BC的距离
∴OA=OE
又∵∠BAC+∠BDC=180度．
∴ABEC四点共圆
设：CD=CE=x，AB=AC=y，OA=OE=z，OB=u，OC=1-u
根据三角形AOB和COE相似，得：
==①
根据三角形AOC和BOE相似，得：
y==②
另外因为∠ABC=∠AEC=∠ACB，故：
△ACO∽△AEC，由此得到，y²=z×（2z）=2z²
即y=z．
代入②得：
u=
由①得：x=z×=-1
所以CD的长为-1．
分析：此题运用作对称点的方法，发现相似三角形，根据相似三角形的对应边的比相等得到比例式，进一步根据比例的基本性质进行计算．
点评：主要是根据相似三角形的性质得到对应边的比相等，进一步联立解方程组．