Question

如图，在直角坐标系中，抛物线y=x²-x-2过A、B、C三点，在对称轴上存在点P，以P、A、C为顶点三角形为直角三角形．则点P的坐标是________．

Answer 1

（，）或（，-）或（，-）或（，-）
分析：根据抛物线解析式求出对称轴为x=，令y=0，解方程求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，令x=0，求出点C的坐标，从而得到OC的长度，然后分①∠PAC=90°时，设PA与y轴的交点为D，根据相似三角形对应边成比例列式求出OD的长度，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线AP的解析式，然后根据点P在对称轴上求出即可，②∠PCA=90°时，设CP的延长线与x轴相交于点D，根据相似三角形对应边成比例列式求出OD的长度，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线CP的解析式，然后根据点P在对称轴上求出即可，③∠APC=90°时，设抛物线对称轴与x轴相交于点D，过点C作CE⊥PD于点E，表示出AD的长度，设PD=a，表示出PE，CE，然后利用△APD和△PCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出a，即可得到点P的坐标．
解答：∵抛物线y=x²-x-2=（x-）²-，
∴抛物线的对称轴为直线x=，
令y=0，则x²-x-2=0，
解得x₁=-1，x₂=2，
∴点A（-1，0），B（2，0），
∴OA=1，OB=2，
令x=0，则y=-2，
∴点C（0，-2），
∴OC=2，
①∠PAC=90°时，如图1，设PA与y轴的交点为D，
∵∠DAO+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠DAO=∠ACO，
又∵∠AOC=∠DOA=90°，
∴△ACO∽△DAO，
∴=，
即=，
解得OD=，
所以，点D（0，），
设直线AP解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线AP的解析式为y=x+，
当x=时，y=×+=，
所以，点P的坐标为（，）；
②∠PCA=90°时，如图2，设CP的延长线与x轴相交于点D，
同①可求△ACO∽△CDO，
所以，=，
即=，
解得OD=4，
所以，点D（4，0），
设直线CP的解析式为y=mx+n，
则，
解得，
所以，直线CP的解析式为y=x-2，
当x=时，y=×-2=-，
所以，点P的坐标为（，-）；
③∠APC=90°时，如图3，设抛物线对称轴与x轴相交于点D，过点C作CE⊥PD于点E，
∵抛物线对称轴为直线x=，
∴AD=-（-1）=，CE=，
设PD=a，则PE=PE-PD=OC-PD=2-a，
∵∠PAD+∠APD=90°，∠APD+∠CPE=90°，
∴∠PAD=∠CPE，
又∵∠ADP=∠PEC=90°，
∴△APD∽△PCE，
∴=，
即=，
整理得，4a²-8a+3=0，
解得a₁=，a₂=，
所以，点P的坐标为（，-）或（，-），
综上所述，点P的坐标为（，）或（，-）或（，-）或（，-）．
故答案为：（，）或（，-）或（，-）或（，-）．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线对称轴的求解，抛物线与坐标轴的交点的求解，相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线解析式，综合性较强，但难度不大，注意分情况讨论求解即可．