Question

如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：如图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，进而求证△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°设CM=x，CN=y，MN=z，根据x²+y²=z²，和x+y+z=2，整理根据△=4（z-2）²-32（1-z）≥0可以解题．
解答：延长CB至L，使BL=DN，
则Rt△ABL≌Rt△AND，
故AL=AN，
∴△AMN≌△AML，
∴∠MAN=∠MAL=45°，
设CM=x，CN=y，MN=z
x²+y²=z²，
∵x+y+z=2，
则x=2-y-z
∴（2-y-z）²+y²=z²，
整理得2y²+（2z-4）y+（4-4z）=0，
∴△=4（z-2）²-32（1-z）≥0，
即（z+2+2）（z+2-2）≥0，
又∵z＞0，
∴z≥2-2，当且仅当x=y=2-时等号成立
此时S_△AMN=S_△AML=ML•AB=z
因此，当z=2-2，x=y=2- 时，S_△AMN取到最小值为 -1．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等，各内角为直角的性质，本题中求证△AMN≌△AML是解题的关键．