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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

    如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒数学公式cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒．
    （1）当点P在线段AO上运动时．
    ①请用含x的代数式表示OP的长度；
    ②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
    （2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由．

    解：（1）①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD，
    ∵AB=2，
    ∴OB=OD=1，OA=OC=，
    ∴OP=，
    ②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线，
    ∴，
    ∵DQ=x，
    ∴BQ=2-x，
    ∴y=S△BPQ+S△BEQ=×（2-x）（-2x）+×（2-x）×，
    =；

    （2）能成为梯形，分三种情况：

    ①当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°，
    ∴，
    即，
    ∴x=，
    此时PB不平行QE，
    ∴x=时，四边形PBEQ为梯形．

    ②当PE∥BQ时，P为OC中点，

    ∴AP=，即，
    ∴，
    此时，BQ=2-x=≠PE，
    ∴x=时，四边形PEQB为梯形．

    ③

    当EQ∥BP时，过E作EH⊥DO，垂足为H，
    ∴△QEH∽△BPO，
    ∴，
    ∴，
    ∴x=1（x=0舍去），
    此时，BQ不平行于PE，
    ∴x=1时，四边形PEQB为梯形．
    综上所述，当x=、或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形．
    分析：（1）①根据菱形的性质求出OA的长度，再求出AP的长等于2x，OP的长即可求出；
    ②过E作EH⊥BD于H，表示出BQ的长等于2-x，分别求出△BPQ和△BEQ的面积，两个三角形的面积之和就是四边形PBEQ的面积为y．（2）根据梯形的定义，可以分三种情况讨论：
    ①PQ∥BE时，因为∠EBQ=30°，所以∠PQO=30°，再利用∠PQO的正切值列出算式即可求解，
    ②PE∥BQ时，因为点E是CD的中点，所以点P是CO的中点，根据AP的长度等于速度乘以时间列出算式即可求出；
    ③EQ∥BP时，过E作EH⊥DO，垂足为H，得到△QEH与△BPO相似，再根据相似三角形对应边成比例列出等式即可求出x的值．
    点评：本题考查菱形的性质及梯形的判定方法，熟练掌握性质和定义是解本题的关键．本题还要注意说明以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形时，因为底边不确定，所以一定要分情况讨论．
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    1
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