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    如图，已知抛物线C1：y=
    12
    x2    ，把它平移后得抛物线C2，使C2经过点A（0，8），且与抛物线C1交于点B（2，n）．在x轴上有一点P，从原点O出发以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴的方向移动，设点P移动的时间为t秒，过点P作x轴的垂线l，分别交抛物线C1、C2于E、D，当直线l经过点B前停止运动，以DE为边在直线l左侧画正方形DEFG．
    （1）判断抛物线C2的顶点是否在x轴上，并说明理由；
    （2）当t为何值时，正方形DEFG在y轴右侧的部分的面积S有最大值？最大值为多少？
    （3）设M为正方形DEFG的对称中心．当t为何值时，△MOP为等腰三角形？
    分析：（1）把点B的坐标代入抛物线C1，进行计算求出n的值，从而得到点B的坐标，然后根据平移变换不改变二次函数图象的形状，设抛物线C2的解析式为y=
    1
    2
    x2+bx+c，然后利用待定系数法求解，再根据抛物线的顶点坐标进行判断；
    （2）根据两抛物线的解析式表示出点D、E的坐标，然后求出DE的长度，然后根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题求解即可；
    （3）根据正方形的性质结合抛物线的对称性可以判断，当正方形的中心在y轴右侧时，△MOP为等腰三角形，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得点M到直线l的距离等于正方形边长的一半，然后列式求解即可．
    解答：解：（1）抛物线C2的顶点在x轴上．理由如下：
    ∵点B（2，n）在抛物线C1上，
    ∴
    1
    2
    ×22=n，
    解得n=2，
    ∴点B的坐标为（2，2），
    ∵抛物线C2是抛物线C1平移得到，
    ∴设抛物线C2的解析式为y=
    1
    2
    x2+bx+c，
    又∵C2经过点A（0，8），
    ∴
    c=8
    1
    2
    ×4+2b+c=2
    ，
    解得
    b=-4
    c=8
    ，
    ∴抛物线C2的解析式为y=
    1
    2
    x2-4x+8=
    1
    2
    （x-4）2，
    ∴抛物线C2的顶点在x轴上；

    （2）时间为t时，点D、E的坐标分别为D（t，
    1
    2
    t2-4t+8），E（t，
    1
    2
    t2），
    ∴DE=
    1
    2
    t2-4t+8-
    1
    2
    t2=-4t+8，
    ∴S=OP•DE=t（-4t+8）=-4t2+8t=-4（t-1）2+4，
    ∵直线l经过点B前停止运动，
    ∴0＜t＜2，
    ∴当t=1时，正方形DEFG在y轴右侧的部分S有最大值，最大值为4；

    （3）如图，可以判定当点M在y轴左侧时，△MOP不能为等腰三角形，
    ∴当点M在y轴右侧，且在OP的垂直平分线上时，△MOP为等腰三角形，
    此时∵点M是正方形的中心，
    ∴
    1
    2
    DE=
    1
    2
    OP，
    即
    1
    2
    （-4t+8）=
    1
    2
    t，
    解得t=
    8
    5
    ，
    ∵
    8
    5
    ＜2，
    ∴符合题意，
    故当t=
    8
    5
    时，△MOP为等腰三角形．
    点评：本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，正方形的性质，等腰三角形的性质，以及二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，需仔细分析并理解方可解决．
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    （1）求P点坐标及a的值；
    （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
    （3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
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    如图，已知抛物线c1：y=-
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    x2+bx+c    与x轴交于点A、B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线c2与抛物线c1关于y轴对称，点A、B的对称点分别是E、D，连接CD、CB，设AD=m．
    （1）抛物线c2可以看成抛物线c1向右平移
    m
    m
    个单位得到．
    （2）若m=2，求b的值．
    （3）将△CDB沿直线BC折叠，点D的对应点为G，且四边形CDBG是平行四边形，
    ①△CDB为
    等边
    等边
    三角形（按边分）；
    ②若点G恰好落在抛物线c2上，求m的值．

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    如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B精英家教网的左侧），点B的横坐标是1；
    （1）求a的值；
    （2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．

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