Question

如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则⊙O的半径为

1. A.
   1
2. B.
   -1
3. C.
   -1
4. D.
   

Answer 1

C
分析：连接AC交于点O，设EC与⊙O相切于点N，连接ON，由O为正方形的中心，得到∠DCO=∠BCO，又CF与CE为圆O的切线，根据切线长定理得到CO平分∠ECF，可得出∠DCF=∠BCE，由折叠可得∠BCE=∠FCE，再由正方形的内角为直角，可得出∠ECB为30°，在直角三角形CON中，求出CO的长，再利用sin∠OCN=sin15°=，即可得到NO的长．
解答：解：连接AC交于点O，设EC与⊙O相切于点N，连接ON，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠DCO=∠BCO，
又∵CF与CE都为圆O的切线，
∴CO平分∠ECF，即∠FCO=∠ECO，
∴∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，即∠DCF=∠BCE，
又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，
∴∠BCE=∠ECF，
∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=∠BCD=30°，
∴∠OCN=15°，
∵BC=AB=4，
∴CO=AC=2，
∵sin∠OCN=sin15°==，
∴=，
即ON=×2===-1，
故选：C．
点评：此题考查了切线的性质，正方形的性质以及折叠的性质和锐角三角函数关系等知识，熟练掌握定理及性质由半角公式求出半径是解本题的关键．