Question

如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（

1

2

，

5

2

）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．
（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．

解答：解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（

1

2

，

5

2

）、B（4，6）在抛物线y=ax²+bx+6上，
∴

5 2 =( 1 2 )2a+ 1 2 b+6 6=16a+4b+6

，解得

a=2 b=-8

，
∴抛物线的解析式为y=2x²-8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n²-8n+6），
∴PC=（n+2）-（2n²-8n+6），
=-2n²+9n-4，
=-2（n-

9

4

）²+

49

8

，
∵PC＞0，
∴当n=

9

4

时，线段PC最大且为

49

8

．

（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．
如答图3-1，过点A（

1

2

，

5

2

）作AN⊥x轴于点N，则ON=

1

2

，AN=

5

2

．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN=

5

2

，∴OM=ON+MN=

1

2

+

5

2

=3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
则：

1 2 k+b= 5 2 3k+b=0

，解得

k=-1 b=3

，
∴直线AM的解析式为：y=-x+3  ①
又抛物线的解析式为：y=2x²-8x+6 ②
联立①②式，解得：x=3或x=

1

2

（与点A重合，舍去）
∴C（3，0），即点C、M、D重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P₁（3，5）；

iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．
∵y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
如答图3-2，作点A（

1

2

，

5

2

）关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（

7

2

，

5

2

）．
当x=

7

2

时，y=x+2=

11

2

．
∴P₂（

7

2

，

11

2

）．
∵点P₁（3，5）、P₂（

7

2

，

11

2

）均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（

7

2

，

11

2

）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．