Question

如图，已知抛物线y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的顶点A在双曲线y=

3

x

上，直线y=mx+b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．
（1）确定直线AB的解析式；
（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；
（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N在直线BG上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．

Answer 1

分析：（1）由抛物线解析式得顶点坐标为（1，-m²+5m-3），代入双曲线y=

3

x

中，可求m的值，再把A点坐标代入直线y=mx+b中，确定直线AB的解析式；
（2）由旋转的性质可知，OD=OB，OE=OC，根据B、D、E三点坐标，作EH⊥BD，垂足为H，可知△BEH为等腰直角三角形，分别求EH，DE，再求sin∠BDE的值；
（3）即△AMN的顶点A的外角为45°，过M点作直线AN的垂线，得到等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求N点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线对称轴x=-

2(m-3)

2(3-m)

=1，
∴抛物线顶点坐标为（1，-m²+5m-3），
代入双曲线y=

3

x

中，得，-m²+5m-3=3，
解得m=2或3，
∵二次项系数3-m≠0，
∴m=2，
∴A（1，3），把A点代入直线y=2x+b中，得b=1，
∴直线AB的解析式为y=2x+1；

（2）由直线AB解析式可知OB=1，OC=

1

2

，
由旋转的性质可知，OD=OB=1，OE=OC=

1

2

，
作EH⊥BD，垂足为H，∵∠OBD=45°，
∴△BEH为等腰直角三角形，
又∵BE=OB-OE=

1

2

，
∴EH=

BE

2

=

2

4

，
在Rt△ODE中，DE=

OE2+OD2

=

( 1 2 )2+12

=

5

2

，
∴sin∠BDE=

EH

DE

=

2 4

5 2

=

10

10

；

（3）N点坐标为（5，1）或（-3，1）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据条件确定抛物线和直线AB的解析式，根据旋转的性质，三角形外角的性质解题．