Question

（改编）如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC=BE
（1）求证：△CEB∽△CBD；
（2）若CE=9，CB=15，求DE的长．
（3）求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理很容易得出△BDC是等腰三角形，而题目告诉BE=CE得△BEC是等腰三角形，且有公共角，易证相似．
（2）要求DE的长，只要求出DC的长就可以了，而DC的长可以通过（1）的结论求出，从而问题解决．
（3）求圆的直径，只要求出半径就可以，往往需要在圆中建立等腰三角形和直角三角形解答，就连接OD，通过解直角三角形和勾股定理求出半径而得解．

解答：（1）证明：∵弦CD垂直于直径AB，
∴BC=BD
∴∠C=∠D
又∵EC=BE∴∠C=∠CBE
∴∠D=∠CBE
又∵∠C=∠C
∴△CEB∽△CBD；    

（2）解：∵△CEB∽△CBD；
∴

CE

CB

=

CB

CD

∴CD=

CB2

CE

=

152

9

=25；
∴DE=CD-CE=25-9=16； 

（3）解：设弦CD垂直于直径AB，垂足是H，圆的半径为r，
连接OD，
所以CH=

1

2

×CD=

25

2

，
BH=

152-( 25 2 )2

=

5 11

2

，
在Rt△OHD中，OD²=OH²+DH²，则有：r2=(r-

5 11

2

)2+(

25

2

)2；
解得：r=

45 11

11

；
所以⊙O的直径为：

90 11

11

；

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理、垂径定理的相关知识．