Question

已知如图所示，△ABC中∠A=∠B=30°，CD是△ABC的角平分线，以C为圆心，CD为半径画圆，交CA所在直线于E、F两点，连接DE、DF．
（1）求证：直线AB是⊙C的切线．
（2）若AC=10cm，求DF的长．

Answer 1

分析：（1）证CD⊥AB即可．根据等腰三角形性质易证；
（2）根据已知角的度数可证△CDE是等边三角形，△ADE是等腰三角形，得到AE=EC=CF．解直角△DEF求解．

解答：（1）证明：∵∠A=∠B，
∴AC=BC．
∵CD是△ABC的角平分线，
∴CD⊥AB．
∴直线AB是⊙C的切线．

（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，
∴∠ACD=60°．
又CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=DE，∠CDE=60°．
∴∠ADE=30°=∠A，
∴AE=DE．
∴AE=EC=CF=

1

2

AC=5cm．
∵EF是直径，∴∠EDF=90°．
∴DF=EF•sin60°=10×

3

2

=5

3

．

点评：此题考查了切线的判定和解直角三角形，是各地常出的中考题型，难度中等．