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    已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．

    （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=则
    120°
    120°
    ，如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=
    90°
    90°
    ，如图3，若∠ACD=α，则∠AFB=
    180°-α
    180°-α
    （用含α的式子表示）；
    （2）设∠ACD=α，将图3中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．
    分析：（1）如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数．如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°．如图3，由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α．
    （2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α．
    解答：解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，
    所以△ACD是等边三角形．
    ∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
    所以△ECB是等边三角形．
    ∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
    又∵∠ACD=∠BCE，
    ∴∠ACE=∠BCD．
    ∵AC=DC，CE=BC，
    ∴△ACE≌△DCB．
    ∴∠EAC=∠BDC．
    ∠AFB是△ADF的外角．
    ∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
    如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
    ∴△ACE≌△DCB．
    ∴∠AEC=∠DBC，
    又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
    ∴∠EFD=90°．
    ∴∠AFB=90°．
    如图3，∵∠ACD=∠BCE，
    ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
    ∴∠ACE=∠DCB．
    ∴∠CAE=∠CDB．
    ∴∠DFA=∠ACD．
    ∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．

    （2）∠AFB=180°-α；
    证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
    即∠ACE=∠DCB．
    在△ACE和△DCB中，
    ∵
    AC=DC
    ∠ACE=∠DCB
    CE=CB
    ，
    ∴△ACE≌△DCB（SAS）．
    则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．
    ∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．
    点评：本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识，本题还综合了旋转的知识点，是一道综合性比较强的题，要熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理．
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    已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，
    （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=
     
    ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=
     
    ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=
     
    ；
    （2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=
     
    （用含α的式子表示）；
    （3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图（甲）所示，已知点C为线段AB上一点，四边形ACMF和四边形BCNE是两个正方形：如图（乙），若把甲图中的两个正方形换成△ACM、△BCN都是等边三角形．连结DE．
    （1）试探究图（甲）中AN与BM的数量关系与位置关系，并说明理由．
    （2）求证：AD=ME；（图乙）
    （3）求证：DE∥AB； （图乙）
    （4）求证：∠BON=60°．（图乙）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知点C为线段AB上一点，CB＞CA，分别以线段AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．
    （1）说明AE=DB的理由．
    （2）如果∠ACD=60°，求∠AFB的度数．
    （3）将图1中的△ACD绕着点C顺时针旋转某个角度，到如图2的位置，如果∠ACD=α，那么∠AFB与α有何数量关系（用含α的代数式表示）？试说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图①：已知点C为线段AB上一点，且D、E分别是线段AB、BC的中点，
    （1）若AC=5cm，BC=4cm，试求线段DE的长度．
    （2）如果（1）中的BC=a，其他条件不变，试求DE的长度．
    （3）根据（1）（2）的计算结果，有关线段DE的长度你能得出什么结论？
    （4）如图②，已知∠AOC=α，∠BOC=β，且OD、OE分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，请直接写出∠DOE度数的表达式．

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