Question

已知Rt△ABC和Rt△ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC、BD的中点，且M、N不重合，请你画出图形后回答，线段MN与BD是否垂直？并请说明理由．若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=8cm，求MN的长．

Answer 1

分析：根据题意画出图形后可知本题有两种情况，即B、D在线段AC的同侧和B、D在线段AC的异侧．

解答：解：如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，
则可知在Rt△BEM中∠EMB=30°，
∵AC=8，∴BM=4，
∴BE=2，EM=2

3

，MD=4，
从而可知BD=

22+(2 3 +4)2

=4

2+ 3

，
∴MN=

42-(2 2+ 3 )2

=(

6

-

2

)cm，

如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，在Rt△BED中，可知∠EDB=60°，
令ED=x，则BE=

3

x，AD=4

2

，AB=4

3

，
∴可得：(4

3

)2=(

3

x)2+(x+4

2

)2，
解得x=

6

-

2

，
∴MN=

42-x2

=（

6

+

2

）cm．

点评：本题考查了勾股定理的应用及直角三角形的相关知识，解决此题很容易漏掉另外一种情况．