已知:如图.抛物线y=ax2+ax+c与y轴交于点C.与x轴交于点A.B.点A的坐标为．(1)求该抛物线的解析式,(2)M是线段OB上一动点.N是线段OC上一动点.且ON=2OM.分别连接MC.MN．当△MNC的面积最大时.求点M.N的坐标,(3)若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P.与线段AC交于点F.点D的坐标为．问:是否存在直线l.使得△ODF是等腰三角形?若存在.请求出点P的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2010•许昌二模）已知：如图，抛物线y=ax²+ax+c与y轴交于点C（0，-2），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）利用A、C的坐标，即可由待定系数法求得抛物线的解析式．
（2）首先设出点M的横坐标，即可表示出N点的坐标，进而可求得CN的长，以CN为底，OM为高，可求得△MNC的面积，从而得到关于△NMC和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得△MNC的最大面积及对应的M、N点坐标．
（3）欲求点P的坐标，首先要求出点F的纵坐标，分三种情况：
①OD=DF，已求得A（-2，0），D（-1，0），那么AD=OD=DF=1，即△AFO是等腰直角三角形，且FD是斜边上的高，可据此求得F点的纵坐标为-1，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标；
②OF=FD，过F作x轴的垂线，设垂足为E，根据等腰三角形三线合一的性质可得出E点的坐标，进而可得到AE的长，由于△AFE是等腰直角三角形，那么AE=EF，由此求出点F的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可得到点P的坐标；
③OD=OF=1，由于O到直线AP的距离为

＞1，因此这种情况不成立．
解答：

解：
（1）由题意，得

，（1分）
解得

；（2分）
∴所求抛物线的解析式为：y=x²+x-2．（3分）

（2）设点M的坐标为（m，0），则OM=m，ON=2m，CN=2-2m；（4分）
则S_△MNC=

NC•OM
=

（2-2m）•m=-m²+m=-（m-

）²+

；（7分）
由x²+x-2=0，得x₁=-2，x₂=1；
∴点B的坐标为（1，0）．（8分）
则0＜m＜1，
∴当m=

时，S_△MNC有最大值

，
此时，点M的坐标为（

，0），点N的坐标为（0，-1）．（9分）

（3）在△ODF中，
①若DO=DF，
∵A（-2，0），D（-1，0），
∴AD=DO=DF=1；
又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
∴∠OAC=45°．
∴∠DFA=∠OAC=45°．
∴∠ADF=90°．
此时，点F的坐标为（-1，-1）；
由x²+x-1=-1，得x₁=

，x₂=

；
此时，点P的坐标为：（

，-1）或（

，-1）；（10分）
②若FO=FD，过点F作FE⊥x轴于点E．
由等腰三角形△AEF中，FE=AE=

．
∴F（

，-

）．
由

，得

．
此时，点P的坐标为：

或

．（11分）
③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
∴AC=

．
∴点O到AC的距离为

，而OF=OD=1＜

，
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
所求点P的坐标为：

或

．（12分）
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数最值的应用、等腰三角形的构成条件、等腰三角形的性质等知识，同时考查了分类讨论的数学思想，难度较大．

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