Question

（2012•宜昌一模）如图，在⊙S中，AB是直径，AC、BC是弦，D是⊙S外一点，且DC与⊙S相切于点C，连接DS，DB，其中DS交BC于E，交⊙S于F，F为弧BC的中点．
（1）求证：DB=DC；
（2）若AB=10，AC=6，P是线段DS上的动点，设DP长为x，四边形ACDP面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②求△PAC周长的最小值，并确定这时x的值．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理的推论得出SF⊥BC，且E为BC的中点，利用垂直平分线的性质即可即可；
（2）①当DP≠AC时，即x≠6时，四边形ACDP为梯形以及当DP=AC时，即x=6时，四边形ACDP为平行四边形，分别求出即可；
②首先利用当P，A，B三点共线时，PA+PB最小（短），得出最小值即可，再利用Rt△DCS∽Rt△CES，得出CS²=SE×SD，进而求出x的值即可．

解答：解：（1）∵点F为

BC

的中点，SF为⊙S的半径，
∴SF⊥BC，且E为BC的中点，
∴DS是BC的中垂线，
∴DB=DC．

（2）①∵AB为⊙S的直径，
∴AC⊥BC，
∴DS∥AC，且BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8，CE=

1

2

BC=4，
当DP≠AC时，即x≠6时，四边形ACDP为梯形，
此时，y=

1

2

(DP+AC)•CE=2(x+6)=2x+12；
当DP=AC时，即x=6时，四边形ACDP为平行四边形，
此时，y=AC•CE=24．
②∵DS是BC的中垂线，∴PC=PB，
∵△PAC的周长=AC+PA+PC=6+PA+PC=6+PA+PB，
当P，A，B三点共线时，PA+PB最小（短），
即点P与点S重合时，△PAC的周长最小，最小值=6+10=16，
此时x=DS，连接CS，
∵DC与⊙S相切于点C，∴DC⊥OC，
∴SE=

CS2-CE2

=

52-42

=3，
∵Rt△DCS∽Rt△CES，
∴CS²=SE×SD，
∴DS=

CS2

SE

=

52

3

=

25

3

，
∴当x=

25

3

时，△PAC的周长最小，最小值=6+10=16．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和梯形的性质等知识，利用相似三角形的判定得出Rt△DCS∽Rt△CES是解题关键．