Question

如图所示，过点F(0，1)的直线y＝kx＋b与抛物线y＝x²交于M(x₁，y₁)和N(x₂，y₂)两点(其中x₁＜0，x₂＜0)．

(1)求b的值．

(2)求x₁·x₂的值

(3)分别过M、N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M₁、N₁，判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论．

(4)对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)把点F(0，1)坐标代入y＝kx＋b中得b＝1．　(3分) 　　(2)由y＝x2和y＝kx＋1得x2－kx－1＝0化简得 　　x1＝2k－2，x2＝2k＋2，x1·x2＝－4　(6分) 　　(3)△M1FN1是直角三角形(F点是直角顶点)．理由如下：设直线l与y轴的交点是F1 　　FM12＝FF12＋M1F12＝x12＋4，FN12＝FF12＋F1N12＝x22＋4 　　M1N12＝(x1－x2)2＝x12＋x22－2x1x2＝x12＋x22＋8 　　∴FM12＋FN12＝M1N12∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形．　(10分) 　　(4)符合条件的定直线m即为直线l：y＝－1． 　　过M作MH⊥NN1于H，MN2＝MH2＋NH2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(x1－x2)2＋[(kx1＋1)－(kx2＋1)]2＝(x1－x2)2＋k2(x1－x2)2＝(k2＋1)(x1－x2)2＝(k2＋1)(4)2＝16(k2＋1)2 　　∴MN＝4(k2＋1) 　　分别取MN和M1N1的中点P，P1， 　　PP1＝(MM1＋NN1)＝(y1＋1＋y2＋1)＝(y1＋y2)＋1＝k(x1＋x1)＋2＝2k2＋2＝2(k2＋1) 　　∴PP1＝MN 　　即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半． 　　∴以MN为直径的圆与l相切．(15分)