Question

函数y=x与y=

k

x

的图象交于点B，过点B分别作BA⊥x轴、BC⊥y轴，点P（m，n）是y=

k

x

图象上任一点，过点P分别作PE⊥x轴、PF⊥y轴，若矩形OABC的面积为9，
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）比较矩形OEPF和矩形OABC的周长大小．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据点P是反比列函数y=

k

x

（k≠0）的图象上任一点设出点P的坐标，再根据过P点分别做x轴，y轴的平行线与x、y轴围成的图形为矩形及矩形的面积求出k的值即可．
（2）用矩形OEPF的周长减去矩形OABC的周长看它们的差的情况即可判断；

解答：解：（1）由于点P是反比列函数y=

k

x

（k≠0）的图象上一点，
则S=|k|=9，解得：k=±9．
解

y=x y= 9 x

得：

x=3 y=3

 或

x=-3 y=-3

，
所以B（3，3），（-3，-3）．

（2）∵点P（m，n）是y=

k

x

图象上任一点，m＞0，n＞0，
∴|mn|=9，
∴|n|=

9

|m|

，
∴矩形OEPF的周长=2（|m|+|n|）=2（|m|+

9

|m|

），
∵B（3，3），
∵矩形OABC的周长=4×3=12，
∵2（|m|+

9

|m|

）-12=2×

(|m|-3)2

|m|

=

2(|m|-3)2

|m|

∴当m≠3时2（|m|+

9

|m|

）-12=2×

(|m|-3)2

|m|

=

2(|m|-3)2

|m|

＞0，
∴矩形OEPF的周长大于矩形OABC的周长；

点评：主要考查了反比例函数y=

k

x

中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．