Question

如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAB=∠D=30°．
（1）∠C的度数为

 

；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当AB=3时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）直接根据圆周角定理得到∠C=∠D=30°；
（2）先根据圆周角定理由AC是⊙O的直径得∠ABC=90°，则∠BAC=60°，所以∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，于是可根据切线的判定定理得到AE是⊙O的切线；
（3）连结OB，先判断△OAB为等边三角形，则OA=3，∠AOB=60°，所以∠BOC=120°，然后利用图中阴影部分的面积=S_△AOB+S_扇形BOC和扇形的面积公式、等边三角形的面积公式计算即可．

解答：（1）解：∠C=∠D=30°；
故答案为30°；
（2）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=60°，
而∠EAB=30°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，
∴CA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）解：连结OB，如图，
∵∠BAC=60°，AB=3，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=3，∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∴图中阴影部分的面积=S_△AOB+S_扇形BOC
=

3

4

×3²+

120•π•32

360

=

9 3

4

+3π．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和扇形面积的计算．