如图，在直角坐标系中，已知直线 $数学公式$ 与y轴交于点A，与x轴交于点B，以线段BC为边向上作正方形ABCD．
（1）点C的坐标为，点D的坐标为；
（2）若抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）经过C、D两点，求该抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒 $数学公式$ 个单位长度的速度沿射线BA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时，正方形停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

解：（1）∵y= $\text{[math]}$ x+1，
∴当x=0时，y=1，即A点坐标为（0，1），
当y=0时，x=-2，即B点坐标为（-2，0）．
如图1，过D点作DH⊥y轴于H，过C点作CG⊥x轴于G．
易证△ADH≌△BAO，∴DH=OA=1，AH=OB=2，∴D（-1，3）；
同理△CBG≌△BAO，∴BG=OA=1，CG=OB=2，∴C（-3，2）．
故答案为（-3，2），（-1，3）；

（2）将C（-3，2）、D（-1，3）两点的坐标代入y=ax²+bx+2，
得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+2；

（3）①当点D运动到y轴上时，t= $\text{[math]}$ ．
当0＜t≤ $\text{[math]}$ 时，如图2，设D′A′交y轴于点F．
∵tan∠BAO= $\text{[math]}$ =2，又∵∠BAO=∠FAA′，
∴tan∠FAA′=2，即 $\text{[math]}$ =2，
∵AA′= $\text{[math]}$ t，∴FA′=2 $\text{[math]}$ t．?
∴S_△AA′F?= $\text{[math]}$ AA′•FA′= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ t×2 $\text{[math]}$ t=5t²；?
当点B运动到点C时，t=1．
②

当 $\text{[math]}$ ＜t≤1时，如图3，设D′C′交y轴于点G，过G作GH⊥B′A′于H．
在Rt△BOA中，BA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴GH= $\text{[math]}$ ，∴AH= $\text{[math]}$ GH= $\text{[math]}$ ，
∵AA′= $\text{[math]}$ t，∴HA′= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ，∴GD′= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ，
∴S_{梯形AA′D′G}?= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t） $\text{[math]}$ =5t- $\text{[math]}$ ；
当点E运动到y轴上时，t= $\text{[math]}$ ．
③当1＜t≤ $\text{[math]}$ 时，如图4，设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N．
∵AA′= $\text{[math]}$ t，B′A′= $\text{[math]}$ ，
∴AB′= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ，?∴B′N=2AB′=2 $\text{[math]}$ t-2 $\text{[math]}$ ，

∵B′C′= $\text{[math]}$ ，∴C′N=B′C′-B′N=3 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ t，
∴C′M= $\text{[math]}$ C′N= $\text{[math]}$ （3 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ t），
∴S_△MNE′?= $\text{[math]}$ （3 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ t）• $\text{[math]}$ （3 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ t）=5t²-15t+ $\text{[math]}$ ，
∴S_{五边形B′A′D′MN}?=S_{正方形B′A′D′C′}?-S_△MNC′?=（ $\text{[math]}$ ）²-（5t²-15t+ $\text{[math]}$ ）=-5t²+15t- $\text{[math]}$ ．
综上所述，S与x的函数关系式为：
当0＜t≤ $\text{[math]}$ 时，S=5t²；
当 $\text{[math]}$ ＜t≤1时，S=5t- $\text{[math]}$ ；
当1＜t≤ $\text{[math]}$ 时，S=-5t²+15t- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点C、点D的坐标；
（2）将C、D两点的坐标代入y=ax²+bx+2，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时 $\text{[math]}$ 秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤ $\text{[math]}$ 时，对应图2；当 $\text{[math]}$ ＜t≤1时，对应图3；当1＜t≤ $\text{[math]}$ 时，对应图4．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考．
点评：本题是非常典型的动线型综合题，全面考查了初中数学代数几何的多个重要知识点，包括：二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、抛物线与几何变换（平移）、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等．难点在于第（3）问，识别正方形和抛物线平移过程的不同阶段是关键所在．作为中考压轴题，本题涉及考点众多，计算复杂，因而难度很大，对考生综合能力要求很高，具有很好的区分度．

练习册系列答案

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