Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC=，AB=5，D是线段AB上的一点（与点A、B不重合），直线DP⊥AB，与线段AC相交于点Q，与射线BC相交于点P，E是AQ的中点，线段ED的延长线与线段CB的延长线相交于点F．
（1）求证：△FBD∽△FDP；
（2）求BF：BP的值；
（3）若⊙A与直线BC相切，⊙B的半径等于线段BF的长，设BD=x，当⊙A与⊙B相切时，请求出x的值．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=∠PDB=90°，∠ABC=∠PBD，
∴∠A=∠BPD，
又∵∠ADQ=90°，E是AQ的中点，
∴AE=EQ=DE，
∴∠A=∠ADE，
而∠FDB=∠ADE，
∴∠FDB=∠FPD，
而∠DFB=∠PFD
∴△FBD∽△FDP；

（2）解：∵∠PDB=90°，
∴tan∠DBP==，
∵△FBD∽△FDP，
∴S_△FBD：S_△FDP=²=，
∴S_△FDB：S_△DBP=9：7，
∴BF：BP=9：7；

（3）解：过C作CD′⊥AB，如图
∵tan∠ABC=，AB=5，
∴BC=3，AC=4，
∴CD′==，
在Rt△BCD′中，BD′==，
∴＜x＜5；
∴DP=x，BP=x，
∴BF=•x=x，
当⊙A与⊙B外切时，
∴BF+AC=AB，即x+4=5，解得x=，而＜，则Q点不在线段AC上，不合题意舍去；
当⊙A与⊙B内切时，
∴BF-AC=AB，即x-4=5，解得x=，
综上所述，x=．
分析：（1）根据等角的余角相等得∠A=∠BPD，又DE为直角三角形ADQ斜边上的中线，则AE=EQ=DE，∠A=∠ADE，而∠FDB=∠ADE，易得∠FDB=∠FPD，根据三角形相似的判定定理即可得到结论；
（2）由tan∠DBP==，根据三角形相似的性质定理得到S_△FBD：S_△FDP=²=，则有S_△FDB：S_△DBP=9：7，再根据三角形的面积公式即可得到BF：BP=9：7；
（3）过C作CD′⊥AB，由tan∠ABC=，AB=5，易得BC=3，AC=4，利用等积法求得CD′==，根据勾股定理可计算出BD′，即得到x的取值范围：∴＜x＜5；然后根据两圆相切的性质得到BF+AC=AB或BF-AC=AB，再分别计算出x，得到满足条件的x的值即可．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：有两个角对应相等的两三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了解直角三角形以及相切两圆的性质．