Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点A作⊙O的切线，交OC的延长线于点D，∠D=30°
（1）求∠B的度数；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．

Answer 1

解：（1）连接OA，
∵AD为圆O的切线，
∴∠OAD=90°，又∠D=30°，
∴∠AOD=60°，
∵∠AOD与∠B所对的弧都为，
∴∠AOD=2∠B，
则∠B=30°；
（2）∵OD⊥AB，
∴=，
∴AC=BC=5，
∵∠D=30°，∠OAD=90°，
∴OA=OC=OD，即C为OD的中点，
∴AC=OD，即OD=2AC=10，
则根据勾股定理得：AD==5．
分析：（1）连接OA，由AD为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AD垂直，得到三角形AOD为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余求出∠AOD的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出∠B的度数；
（2）由OD与AB垂直，利用垂径定理得到C为弧AB的中点，得到两条弧相等，利用等弧对等弦得到AC=BC=5，由∠D=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OA为OD的一半，而OC=OA，可得出C为OD的中点，求出OD的长，再利用勾股定理即可求出AD的长．
点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆心角、弧及弦之间的关系，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．