Question

在边长为a的正方形内ABCD中，AE与以BC为直径的半圆相切于点F，交CD于E，求CF、FD的长．

Answer 1

考点：切线的性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：作FM⊥BC于M，交AD于N，连结BF、CF、DF、OE，CF与OE交于H，根据切线长定理得AF=AB=a，EF=EC，设EC=x，则EF=x，DE=a-x，AE=a+x，在Rt△AED中，利用勾股定理得AE²=AD²+DE²，可得到EC=

1

4

a，在Rt△OEC中，根据勾股定理计算得OE=

5

4

a，在利用面积法得

1

2

CH•OE=

1

2

OC•CE，可计算得CH=

5

10

a，利用垂径定理得CF=2CH=

5

5

a；在Rt△BCF中，根据勾股定理计算出BF=

2 5

5

a，再利用面积法计算出FM=

2

5

a，在Rt△FMC中，计算出MC=

1

5

a，则DN=MC=

1

5

a，NF=MN-MF=

3

5

a，然后利用勾股定理计算DF=

10

5

a．

解答：解：作FM⊥BC于M，交AD于N，连结BF、CF、DF、OE，CF与OE交于H，如图，
∵AB和AF是⊙O的切线，
∴AF=AB=a，
∵EF和EC是⊙O的切线，
∴EF=EC，
设EC=x，则EF=x，DE=a-x，AE=a+x，
在Rt△AED中，∵AE²=AD²+DE²，
∴（a+x）²=a²+（a-x）²，
∴x=

1

4

a，即EC=

1

4

a，
在Rt△OEC中，OE=

OC2+CE2

=

( 1 2 a)2+( 1 4 a)2

=

5

4

a，
∵

1

2

CH•OE=

1

2

OC•CE，
∴CH=

1 2 a• 1 4 a

5 4 a

=

5

10

a，
∴CF=2CH=

5

5

a，
∵BC为直径，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BCF中，BF=

BC2-CF2

=

2 5

5

a，
∵

1

2

BC•FM=

1

2

BF•CF，
∴FM=

2

5

a，
在Rt△FMC中，MC=

CF2-FM2

=

1

5

a，
∴DN=MC=

1

5

a，NF=MN-MF=a-

2

5

a=

3

5

a，
在Rt△DFN中，DF=

DN2+NF2

=

10

5

a，
∴CF、FD的长分别为

5

5

a，

10

5

a．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了正方形的性质和勾股定理．