Question

6．如图，点F是正方形ABCD的BC边所在直线上的一点，以BF为对角线作正方形BEFG连接AG，CE．
（1）求证：AG=CE；
（2）当点F在CB的延长线上时，CE交AB于点M，交AG于点H，如图2，求证：AG⊥CE；
（3）当点F在BC的延长线上时，如图3，延长EC交GF于点I，交AG的延长线于点H，当BG=2$\sqrt{13}$，EH=5GH时，求EH的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABG≌△CBE即可；
（2）首先证明△ABG≌△CBE，可得AG=CE，∠GAB=∠CEB，由∠ABC=90°，可得∠BCE+∠BMC=90°，由∠AMH=∠BMC，推出∠GAB+∠AMH=90°，可得∠AHM=90°；
（3）连接EG．首先证明∠H=90°，由勾股定理可得：EG²=BG²+BE²=2×（2$\sqrt{13}$）²=104，由EH=5GH，可得GH²+（ 5GH）²=104，解得：GH=2；

解答 解：（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB=BC，BG=BE，∠ABC=∠GBE=90°，
∴∠ABC-∠GBC=∠GBE-∠GBC，
∴∠ABG=∠CBE，
∴△ABG≌△CBE，
∴AG=CE．

（2）如图2中，

同（1）∴AB=BC，BG=BE，∠ABC=∠GBE=90°，
∴∠ABC+∠ABE=∠GBE+∠ABE，
∴∠ABG=∠CBE，
∴△ABG≌△CBE，
∴AG=CE，∠GAB=∠CEB，
∵∠ABC=90°，
∴∠BCE+∠BMC=90°，
∵∠AMH=∠BMC，
∴∠GAB+∠AMH=90°，
∴AHM=90°，
∴AG⊥EC．

（3）连接EG．

同（1）可得△ABG≌△CBE，
∴∠AGB=∠CEB，
∵∠BGF=∠BEF=90°，
∴∠AGB+∠HGI=∠BEC+∠IEF=90°，
又∵∠GIH=∠EIF，
∴∠HGI=∠FEI，
∴∠H=∠EFI，
∵∠EFG=90°，
∴∠H=90°，
∴GH²+EH²=GE²，
∵在正方形BEFG中BG=BE，∠GBE=90°，BG=2$\sqrt{13}$．
由勾股定理可得：EG²=BG²+BE²=2×（2$\sqrt{13}$）²=104，
∵EH=5GH，
∴GH²+（ 5GH）²=104，
解得：GH=2，
∴EH=10．

点评 本题考查四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．