Question

如图，在∠MAN内有一定点P，已知tan∠MAN=3，P到直线AN的距离PD=12，AD=30．过P任作一条直线分别与AN、AM交于点B、C．求△ABC面积的最小值．

Answer 1

解：可证明，当过点P的直线满足PB=PC时，△ABC的面积最小．
事实上，设B₁C₁为过点P的任一直线，构成△AB₁C₁．
如图，作CF∥B₁B，则△PCF≌△PBB₁，
故S_△ABC=S_△PCF+S_{四边形AB1PC}＜S_△AB1C1．
根据上述的几何结论计算如下．
因为PD=12，所以CE=24，
又因为tan∠MAN=3，
所以AE=8，
由ED=BD，
而ED=AD-AE=22，
得BD=22．
故AB=AD+BD=52．
（S_△ABC）min=AB•CE=624．
分析：可证明，当过点P的直线满足PB=PC时，△ABC的面积最小．设B₁C₁为过点P的任一直线，构成△AB₁C₁．作CF∥B₁B，可证明△PCF≌△PBB₁，则S_△ABC=S_△PCF+S_{四边形AB1PC}＜S_△AB1C1．即可求出CE，再由tan∠MAN=3，可得AE，从而得出BD，即可得出△ABC面积的最小值．
点评：本题是一道综合性的题目，考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形，综合性较强，难度偏大．