Question

若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长．

Answer 1

分析：设三边长为a、b、c，其中c是斜边，则存在勾股定理和周长等于面积这两个等量关系，解方程组且根据a、b、c均为正整数可得a、b、c的值．

解答：解：设三边长为a，b，c，其中c是斜边，
则有

a2+b2=c2(1) a+b+c= ab 2 (3)

（2）代入（1）得 a2+b2=(

ab

2

-a-b)2
即

ab

4

(ab-4a-4b+8)=0
因为ab≠0所以ab-4a-4b+8=0
所以 a=4+

8

b-4

（a，b为正整数）
所以b-4=1，2，4，8，
所以b=5，6，8，12；
a=12，8，6，5；
c=13，10，10，13，
所以，三边长为6，8，10或5，12，13．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中讨论a、b的值是解题的关键．