Question

已知正方形ABCD的边长为4cm，E为AB上一点，AE=3cm，连接EC，MN⊥EC分别交AD、BC于点M、N，则MN的长为________．

Answer 1

cm
分析：过M作MG⊥BC于G，过E作EH⊥DC于H，得出矩形MGCD和矩形EHDA，推出EH=MG，求出∠MGN=∠EHC=90°，∠GMN=∠HEC，根据ASA证△EHC≌△MGN，推出CE=MN，根据勾股定理求出EC即可．
解答：
过M作MG⊥BC于G，过E作EH⊥DC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠D=∠DCA=90°=∠MGC，
∴四边形MGCD是矩形，
∴MG=DC，
同理EH=AD，
∴MG=EH，
∵MG⊥BC，EH⊥DC，
∴∠EHC=∠MGN=90°，
∵MN⊥CE，
∴∠NTC=90°=∠DCB，
∴∠MNG+∠GMN=90°，∠HCE+∠NCT=90°，
∴∠GMN=∠ECB，
∵EH⊥DC，∠BCD=90°，
∴EH∥BC，
∴∠HEC=∠TCN，
∴∠HEC=∠GMN，
∵在△EHC和△MGN中
，
∴△EHC≌△MGN（ASA），
∴CE=MN，
在Rt△BEC中，BC=4cm，BE=4cm-3cm=1cm，由勾股定理得：CE==cm，
即MN=cm，
故答案为：cm．
点评：本题考查了勾股定理，正方形性质，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出△EHC≌△MGN．