Question

7．计算：$\frac{（{3}^{4}+4）（{7}^{4}+4）（1{1}^{4}+4）…（3{9}^{4}+4）}{（{5}^{4}+4）（{9}^{4}+4）（1{3}^{4}+4）…（4{1}^{4}+4）}$=（　　）

• A． $\frac{1}{353}$
• B． $\frac{1}{354}$
• C． $\frac{1}{355}$
• D． $\frac{1}{356}$

Answer 1

分析 通过完全平方公式变形得到a⁴+4=[（a-1）²+1][（a+1）²+1]，则（3⁴+4）（7⁴+4）（11⁴+4）…（39⁴+4）=（2²+1）（4²+1）（6²+1）（8²+1））（10²+1）（12²+1）…（38²+1）（40²+1），
（5⁴+4）（9⁴+4）（13⁴+4）…（41⁴+4）=（4²+1）（6²+1）（8²+1）（10²+1））（12²+1）（14²+1）…（40²+1）（42²+1），然后利用约分计算原式的值．

解答 解：∵a⁴+4=a⁴+4a²+4-4a²=（a²+2）²-4a²=（a²-2a+2）（a²+2a+2）=[（a-1）²+1][（a+1）²+1]，
∴（3⁴+4）（7⁴+4）（11⁴+4）…（39⁴+4）=（2²+1）（4²+1）（6²+1）（8²+1））（10²+1）（12²+1）…（38²+1）（40²+1），
（5⁴+4）（9⁴+4）（13⁴+4）…（41⁴+4）=（4²+1）（6²+1）（8²+1）（10²+1））（12²+1）（14²+1）…（40²+1）（42²+1），
∴原式=$\frac{{2}^{2}+1}{4{2}^{2}+1}$=$\frac{1}{353}$．
故选A．

点评 本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．解决本题的关键是利用因式把a⁴+4化为[（a-1）²+1][（a+1）²+1]的形式．