Question

已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，证得0E=OF=OA，则可得点O即为△AEF的外心；
（2）①连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，求出∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上；
②连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．设DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），则CN=y-1，先利用AAS证明△GBP≌△MDP，得出BG=DM=x，CG=1-x，再由BC∥DA，得出△NCG∽△NDM，根据相似三角形对应边成比例得出=，进而求出为定值2．
解答：（1）证明：如图1，连接OE、0F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=∠ADC=×60°=30°，
又∵E、F分别为DC、CB中点，
∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，
∴0E=OF=OA，
∴点O即为△AEF的外心；

（2）解：①猜想：外心P一定落在直线DB上．理由如下：
如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上；
②为定值2．
连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．
如图3，设MN交BC于点G，
设DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），则CN=y-1，
∵BC∥DA，
∴∠GBP=∠MDP，∠BGP=∠DMP，
又由（1）知BP=DP，
∴△GBP≌△MDP（AAS），
∴BG=DM=x，
∴CG=1-x．
∵BC∥DA，
∴△NCG∽△NDM，
∴=，
∴=，
∴x+y=2xy，
∴+=2，
即=2．
点评：此题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．