Question

18．如图，点E为正方形ABCD的边AB上的一点，AB=5，DE=6，△DAE旋转后能与△DCF重合，
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）如果连接EF，那么△DEF是怎样的三角形？
（4）四边形DEBF的周长和面积分别为多少？

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可求得旋转中心．
（2）利用全等三角形的性质得出相等的线段和角度，从而判断△DAE顺时针旋转270度后能与△DCF重合，△DAE逆时针旋转90度后能与△DCF重合．
（3）根据（1）（2）中得出的条件可知道△DEF是等腰直角三角形；
（4）根据△DAE≌△DCF，对应三角形的边相等即可求解．

解答 解：（1）因为△DAE旋转后能与△DCF重合，所以旋转中心是D．
（2）根据旋转的性质可知，△DAE≌△DCF，
∴∠EDF=90°，
所以△DAE顺时针旋转270°后能与△DCF重合，△DAE逆时针旋转90°后能与△DCF重合，即旋转了90°或270°．
（3）∵∠EDF=90°，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（4）∵△DAE≌△DCF，
∴CF=AE，
∴BE+BF=BE+BC+CF=AB+BC=5+5=10，
∴四边形DEBF的周长是BE+BF+DE+DF=10+6+6=22，
∵△DAE≌△DCF，
∴四边形DEBF的面积=正方形ABCD的面积=5×5=25．

点评 本题考查旋转的性质和正方形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．