Question

（2012•谷城县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=

1

18

x²-

4

9

x-10与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B．过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

Answer 1

分析：（1）在y=

1

18

x²-

4

9

x-10中，令y=0可求A，令x=0，可求B；由BC∥x轴，可得点C的纵坐标为-10．由-10=

1

18

x²-

4

9

x-10可求C，由y=

1

18

x²-

4

9

x-10=

1

18

（x-4）²-

98

9

可求抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可求解．
（3）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．从而有PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100，FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100．利用FP=FQ，QP=QF，PQ=PF分别进行求解．

解答：解：（1）在抛物线y=

1

18

x2-

4

9

x-10中，
令x=0，得y=-10．
则B（0，-10）．
令y=0，得x=-10或18．
则A（18，0）． 
令y=-10，得x=0或8．
则C（8，-10）． 
∵y=

1

18

x2-

4

9

x-10=

1

18

(x-4)2-

98

9

，
∴抛物线的顶点坐标为（4，-

98

9

）．

（2）由（1）知：OA=18，BC=8．
由于QC∥PA，所以当PA=QC时，四边形PQCA为平行四边形，
则18-4t=t．
解得t=3.6．
故当t=3.6秒时，四边形PQCA为平行四边形．

（3）∵QC∥DE∥OA，
∴

AF

CQ

=

AE

EC

=

OD

DC

=

OP

QC

．
∴AF=OP，
∴PF=OA=18．
∴P（4t，0），Q（8-t，-10），F（18+4t，0）．
∴构造直角三角形后，由勾股定理知，
PF²=18²=324，PQ²=（8-5t）²+10²=25t²-80t+164，QF²=（10+5t）²+10²=25t²+100t+200．
①若PQ=PF，由25t²-80t+164=324，
解得：t=

8±4 14

5

，
取正数t=

8+4 14

5

＞4.5，舍去；
②若QP=QF，
由25t²-80t+164=25t²+100t+200，
解得：t=-

1

5

（舍去）；
③若FP=FQ，
由324=25t²+100t+200，
解得：t=

±4 14 -10

5

．
取正数t=

4 14 -10

5

＜4.5．
综上，当t=

4 14 -10

5

时，△PQF为等腰三角形．

点评：本题主要考查了直线与抛物线的综合应用，要求考试能够利用基本知识进行一定的推理，要求考试具备一定的逻辑推理的能力，有很强的解决问题的能力．